Let g ( x ) = 3 f x 3 + f ( 3 - x ) and f " ( x ) > 0 for all x ∈ ( 0 , 3 ) . If g is decreasing in ( 0 ,…

Given: $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right)+\mathrm{f}(3-\mathrm{x})$ and ${\mathrm{f}}^{"}\left(\mathrm{x}\right)>0\forall \mathrm{x}\in (0,3)$

$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)$ is increasing function

$\Rightarrow {\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=3\times \frac{1}{3}·{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right)-{\mathrm{f}}^{\text{'}}(3-\mathrm{x})$

$\Rightarrow {\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right)-{\mathrm{f}}^{\text{'}}(3-\mathrm{x})$

It is given that $\mathrm{g}$ is decreasing in $\left(0, \mathrm{\alpha }\right)$ then ${\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)<0$.

$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right)-{\mathrm{f}}^{\text{'}}(3-\mathrm{x})<0$

$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right)<{\mathrm{f}}^{\text{'}}(3-\mathrm{x})$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{3}<3-\mathrm{x}$

$\Rightarrow \mathrm{x}<9-3\mathrm{x}$

$\Rightarrow \mathrm{x}<\frac{9}{4}$

$\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow 8\mathrm{\alpha }=8\times \frac{9}{4}$

$\Rightarrow 8\mathrm{\alpha }=18$