Let f : R → R be defined f x = a e 2 x + b e x + c x . If f ( 0 ) = - 1 , f ' log e 2 = 21 and ∫ 0 log 4 f x…

Given: $f\left(x\right)=a{e}^{2x}+b{e}^x+cx, f\left(0\right)=-1, f^{\text{'}}\left(\log 2\right)=21, {\int }_0^{\log 4}\left(f\left(x\right)-cx\right)=\frac{39}{2}$

$\Rightarrow f\left(0\right)=a+b=-1 ...\left(i\right)$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=2a{e}^{2x}+b{e}^x+c$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(\log 2\right)=2a\left(4\right)+b\left(2\right)+c=21$

$\Rightarrow 8a+2b+c=21 ...\left(ii\right)$

Also, ${\int }_0^{\log 4}\left(a{e}^{2x}+b{e}^x+cx-cx\right)=\frac{39}{2}$

$\Rightarrow {\int }_0^{\log 4}\left(a{e}^{2x}+b{e}^x\right)=\frac{39}{2}$

$\Rightarrow {\left[\frac{a{e}^{2x}}{2}+b{e}^x\right]}_0^{\log 4}=\frac{39}{2}$

$\Rightarrow \frac{a{e}^{2\log 4}}{2}+b{e}^{\log 4}-\frac{a}{2}-b=\frac{39}{2}$

$\Rightarrow \frac{15a}{2}+3b=\frac{39}{2}$

$\Rightarrow 15a+6b=39$

Using equation $\left(i\right)$,

$\Rightarrow 15a+6\left(-1-a\right)=39$

$\Rightarrow 15a-6-6a=39$

$\Rightarrow 9a=45$

$\Rightarrow a=5$

$\Rightarrow b=-1-5=-6$

$\Rightarrow c=21-8a-2b$

$\Rightarrow c=21-40+12=-7$

$\Rightarrow c=-7$

$\Rightarrow \left|a+b+c\right|=8$