Let $a, b, c$ be three vectors such that $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot…

Let $a, b, c$ be three vectors such that $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=5$ and $|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}|^2+|\vec{c}+\vec{a}-\vec{b}|^2=50$ then $\vec{a} \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$
  1. $\frac{5}{2}$
  2. $-\frac{5}{2}$
  3. 10
  4. $-10$

Solution

$\vec{a} \cdot \vec{a}=\vec{b} \cdot \vec{b}=\vec{c} \cdot \vec{c}=5$ $\therefore|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{5}$ also $|\vec{x}|^2=\vec{x} \cdot \vec{x}$ $\begin{aligned} & |\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|^2=(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}) \\ & =\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b} \\ & \quad-\vec{b} \cdot \vec{c}-\vec{c} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{c}\end{aligned}$ $=15+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}-2 \vec{c} \cdot \vec{a}$ ...(i) $\begin{aligned} & |\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}|^2=(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}) \\ & \quad \vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{c} \\ & \quad-\vec{c} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{a}\end{aligned}$ $=15-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}-2 \vec{c} \cdot \vec{a}$ ...(ii) $|\vec{c}+\vec{a}-\vec{b}|^2=(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})$ $=15-2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}$ ...(iii) $\begin{aligned} & \text { (i) }+ \text { (ii) }+ \text { (iii) } \\ & |\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}|^2+|\vec{c}+\vec{a}-\vec{b}|^2 \\ & =45-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=50 \\ & \therefore \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{-5}{2}\end{aligned}$

Asked in: MHT CET Full Test 13

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