Let A be a square matrix such that AA T = I . Then 1 2 A A + A T 2 + A - A T 2 is equal to

Given: ${\mathrm{AA}}^{\mathrm{T}}=1$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}={\mathrm{A}}^{-1}$

Now, solving 

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{A}\left[{\left(\mathrm{A}+{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2+{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2\right]=\frac{1}{2}\mathrm{A}\times \left[2{\mathrm{A}}^2+2{\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2+2{\mathrm{AA}}^{\mathrm{T}}-2{\mathrm{AA}}^{\mathrm{T}}\right]$$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{A}\left[{\left(\mathrm{A}+{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2+{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2\right]=\frac{1}{2}\mathrm{A}\times 2\left[{\mathrm{A}}^2+{\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2\right]$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{A}\left[{\left(\mathrm{A}+{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2+{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2\right]={\mathrm{A}}^3+\mathrm{A}{\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2$

Now using, ${\mathrm{AA}}^{\mathrm{T}}=1$,

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{A}\left[{\left(\mathrm{A}+{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2+{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^2\right]={\mathrm{A}}^3+{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$