Let A be a 2 × 2 real matrix and I be the identity matrix of order 2 . If the roots of the equation | A - xI…

Given: $|\mathrm{A}-\mathrm{xI}|=0$ have roots $-1$ and $3$.

Let, $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right]$

$\Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{xI}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\mathrm{x}& 0\\ 0& \mathrm{x}\end{array}\right]$

$\Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{xI}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}-\mathrm{x}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}-\mathrm{x}\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left|\mathrm{A}-\mathrm{xI}\right|=\left(\mathrm{a}-\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{d}-\mathrm{x}\right)-\mathrm{bc}$

$\Rightarrow \left|\mathrm{A}-\mathrm{xI}\right|=\mathrm{ad}-\mathrm{ax}-\mathrm{dx}+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{bc}$

$\Rightarrow \left|\mathrm{A}-\mathrm{xI}\right|={\mathrm{x}}^2-\left(\mathrm{a}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}+\left(\mathrm{ad}-\mathrm{bc}\right)$

Sum of roots, $\mathrm{a}+\mathrm{d}=2$

Product of roots, $\mathrm{ad}-\mathrm{bc}=-3$

Now finding matrix ${\mathrm{A}}^2$,

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{ll}{\mathrm{a}}^2+\mathrm{bc}& \mathrm{ab}+\mathrm{bd}\\ \mathrm{ac}+\mathrm{cd}& \mathrm{bc}+{\mathrm{d}}^2\end{array}\right]$

Sum of diagonal elements, $\mathrm{S}={\mathrm{a}}^2+\mathrm{bc}+\mathrm{bc}+{\mathrm{d}}^2$

$\Rightarrow \mathrm{S}={\mathrm{a}}^2+2\mathrm{bc}+{\mathrm{d}}^2$

$\Rightarrow \mathrm{S}=(\mathrm{a}+\mathrm{d}{)}^2-2\left(\mathrm{ad}-\mathrm{bc}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{S}=(2{)}^2-2\left(-3\right)$

$\Rightarrow \mathrm{S}=4+6$

$\Rightarrow \mathrm{S}=10$