In an A.P., the sixth term a 6 = 2 . If the a 1 a 4 a 5 is the greatest, then the common difference of the A…

Given: ${\mathrm{a}}_6=2$. Also, ${\mathrm{a}}_1{\mathrm{a}}_4{\mathrm{a}}_5$ is greatest.

$\Rightarrow \mathrm{a}+5\mathrm{d}=2 ...\left(i\right)$

Let, $\mathrm{y}={\mathrm{a}}_1{\mathrm{a}}_4{\mathrm{a}}_5$

$\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{a}+3\mathrm{d})(\mathrm{a}+4\mathrm{d})$

$\Rightarrow \mathrm{y}=(2-5\mathrm{d})(2-2\mathrm{d})(2-\mathrm{d})$

$\Rightarrow \mathrm{y}=\left(4-4\mathrm{d}-10\mathrm{d}+10{\mathrm{d}}^2\right)\left(2-\mathrm{d}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{y}=\left(4-14\mathrm{d}+10{\mathrm{d}}^2\right)\left(2-\mathrm{d}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{y}=8-4\mathrm{d}-28\mathrm{d}+14{\mathrm{d}}^2+20{\mathrm{d}}^2-10{\mathrm{d}}^3$

$\Rightarrow \mathrm{y}=8-32\mathrm{d}+34{\mathrm{d}}^2-10{\mathrm{d}}^3$

$\Rightarrow {\mathrm{y}}^{\text{'}}=-32+68\mathrm{d}-30{\mathrm{d}}^2$

$\Rightarrow {\mathrm{y}}^{\text{'}}=-2\left(15{\mathrm{d}}^2-34\mathrm{d}+16\right)$

$\Rightarrow {\mathrm{y}}^{\text{'}}=-2(5\mathrm{d}-8)(3\mathrm{d}-2)$

So,  the function attains maxima at $\mathrm{d}=\frac{8}{5}$