If $f(x)=x^n$, then the value of $f(1)-\frac{f^{\prime}(1)}{1}+\frac{f^{\prime \prime}(1)}{2 !}-\frac{f^{\prime \prime}(1)}{3 !}+\ldots \ldots \ldots \ldots . \frac{(-1)^n f^{\prime \prime}(1)}{n !}$ is

Question

Aicharya · Accepted Answer

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \Rightarrow \mathrm{f}(1)=1$ $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{nx} x^{\mathrm{n}-1} \Rightarrow \mathrm{f}^{\prime}(1)=\mathrm{n}$ $\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1) \mathrm{x}^{\mathrm{n}-2} \Rightarrow \mathrm{f}^{\prime \prime}(1)=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)$ $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\mathrm{n} ! \Rightarrow \mathrm{f}^{\mathrm{n}}(1)=\mathrm{n} !$ $=1-\frac{\mathrm{n}}{1 !}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2 !}-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !}+\ldots \ldots \ldots+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{n} !}{\mathrm{n} !}$ $={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_0-{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_1+{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2-{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_3+\ldots \ldots \ldots+(-1)^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}=0$

If $f(x)=x^n$, then the value of $f(1)-\frac{f^{\prime}(1)}{1}+\frac{f^{\prime \prime}(1)}{2…

Solution