If the area of the region ( x , y ) : 0 ≤ y ≤ min 2 x , 6 x - x 2 is A , then 12 A is equal to _______.

Solving, $\mathrm{y}=2\mathrm{x} \text{and} \mathrm{y}=6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2$

$\Rightarrow 2\mathrm{x}=6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2$

$\Rightarrow 4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}\left(4-\mathrm{x}\right)=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=0,4$

$\Rightarrow \mathrm{y}=0,8$

$\Rightarrow \left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)\equiv \left(0,0\right), \left(4,8\right)$

So, the required area is given by,

$\mathrm{A}=\frac{1}{2}\times 4\times 8+{\int }_4^6\left(6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{dx}$

$\Rightarrow \mathrm{A}=16+{\left[3{\mathrm{x}}^2-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_4^6$

$\Rightarrow \mathrm{A}=\frac{76}{3}$

$\Rightarrow 12\mathrm{A}=304$