If I n = ∫ tan n x d x , and I 0 + I 1 + 2 I 2 + 2 I 3 + 2 I 4 + I 5 + I 6 = ∑ K = 1 n tan K x K…

Reduction formulae for $I_n=\int {\tan }^{n}xdx=\frac{{\tan }^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}$

i.e. $I_n+I_{n-2}=\frac{{\tan }^{n-1}x}{n-1}$

Given $I_0+I_1+2I_2+2I_3+2I_4+I_5+I_6=\sum _{K=1}^n\frac{{\tan }^{K}x}{K}$

Now, $I_0+I_1+2I_2+2I_3+2I_4+I_5+I_6=\left(I_2+I_0\right)+\left(I_3+I_1\right)+\left(I_4+I_2\right)+\left(I_5+I_3\right)+\left(I_6+I_4\right)$

$=\frac{\tan x}{1}+\frac{{\tan }^{2}x}{2}+\frac{{\tan }^{3}x}{3}+\frac{{\tan }^{4}x}{4}+\frac{{\tan }^{5}x}{5}$

$=\sum _{K=1}^5\frac{{\tan }^{K}x}{K}$

Hence, $n=5$