If $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int \frac{\mathrm{x}^2+\sin ^2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^2} \sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x}$ and $\mathrm{f}(0)=0$, then $\mathrm{f}(1)=$

Question

Aicharya · Accepted Answer

$\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=\int \frac{\mathrm{x}^2+\sin ^2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^2} \cdot \sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x} \ & =\int \frac{1+\mathrm{x}^2+\sin ^2 \mathrm{x}-1}{1+\mathrm{x}^2} \cdot \sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x} \ & =\int\left(1-\frac{\cos ^2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^2}ight) \sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x} \ & =\int \sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x}-\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{x}^2} \ & =\mathrm{f}(\mathrm{x})=	an \mathrm{x}-	an ^{-1} \mathrm{x}+\mathrm{C} \ & \because \mathrm{f}(0)=0 \Rightarrow \mathrm{c}=0\end{aligned}$ So, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=	an \mathrm{x}-	an ^{-1} \mathrm{X}$ $\Rightarrow \mathrm{f}(1)=	an 1-	an ^{-1}(1)=	an (1)-\frac{\pi}{4}$

If $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int \frac{\mathrm{x}^2+\sin ^2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^2} \sec ^2 \mathrm{x} d…

Solution