If $f(1)=1, f^{\prime}(1)=5$, then the derivative of…
If $f(1)=1, f^{\prime}(1)=5$, then the derivative of $\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(x)))+(\mathrm{f}(x))^2$ at $x=1$ is
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Solution
$\begin{aligned} \text { Let } y & =\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(x)))+(\mathrm{f}(x))^2 \\ \therefore \quad \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} & =\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(x))) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{f}(x)) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(x)+2 \mathrm{f}(x) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(x) \\ \therefore \quad\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)_{x=1} & =\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(1))) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{f}(1)) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(1) \\ & =\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{f}(1)) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(1) \cdot 5+2 \cdot 1 \cdot 5 \\ & =\mathrm{f}^{\prime}(1) \cdot 5 \cdot 5+2 \cdot 1 \cdot 5 \\ & =5 \cdot 5 \cdot 5+2 \cdot 1 \cdot 5 \\ & =135\end{aligned}$
Asked in: MHT CET 2024 (16 May Shift 1)
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