If $A = \begin{bmatrix} 0 & - an\left(\frac{ heta}{2} ight) \ an\left(\frac{ heta}{2} ight) & 0 \end{bmatrix}$ and $\left(I_2 + A ight)\left(I_2 - A ight)^{-1} = \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \end{bmatrix}$, then $13\left(a^2 + b^2 ight)$ is equal to _____ .

Question

If $A = \begin{bmatrix} 0 & -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 0 \end{bmatrix}$ and $\left(I_2 + Aight)\left(I_2 - Aight)^{-1} = \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \end{bmatrix}$, then $13\left(a^2 + b^2ight)$ is equal to _____ .

Aicharya · Accepted Answer

$A=\begin{bmatrix} 0 & -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 0 \end{bmatrix}$ $\Rightarrow I+A=\begin{bmatrix} 1 & -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 1 \end{bmatrix}$ $\Rightarrow I-A=\begin{bmatrix} 1 & 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow |I-A|=\frac{\sec^2	heta}{2}$ $\Rightarrow (I-A)^{-1}$=$\frac{1}{\sec^2\left(\frac{	heta}{2}ight)}\begin{bmatrix} 1 & -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 1 \end{bmatrix}$ $\Rightarrow (I+A)(I-A)^{-1}=\frac{1}{\sec^2\left(\frac{	heta}{2}ight)}\begin{bmatrix} 1 & -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 1 \end{bmatrix}$ $=\frac{1}{\sec^2\left(\frac{	heta}{2}ight)}\begin{bmatrix} 1-	an^2\left(\frac{	heta}{2}ight) & -2	an\left(\frac{	heta}{2}ight) \ 2	an\left(\frac{	heta}{2}ight) & 1-	an^2\left(\frac{	heta}{2}ight) \end{bmatrix}$ $a=\frac{1-	an^2\left(\frac{	heta}{2}ight)}{\sec^2\left(\frac{	heta}{2}ight)}$ $b=\frac{2	an\left(\frac{	heta}{2}ight)}{\sec^2\left(\frac{	heta}{2}ight)}$ $\Rightarrow a^2+b^2=1$ $\Rightarrow 13(a^2+b^2)=13$

If $A = \begin{bmatrix} 0 & -\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) & 0…

Solution