If $(1+\sqrt{1+x}) an x=1+\sqrt{1-x}$, then $\sin 4 x$ is

Question

If $(1+\sqrt{1+x}) 	an x=1+\sqrt{1-x}$, then $\sin 4 x$ is

Aicharya · Accepted Answer

$(1+\sqrt{1+x}) 	an x=1+\sqrt{1-x}$ $\Rightarrow 	an x=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1+x}}$ Put $x=\sin 	heta$ $	herefore \quad 	an x=\frac{1+\sqrt{1-\sin 	heta}}{1+\sqrt{1+\sin 	heta}}$ $\begin{aligned} & =\frac{1+\sqrt{\left(\cos \frac{	heta}{2}-\sin \frac{	heta}{2}ight)^2}}{1+\sqrt{\left(\cos \frac{	heta}{2}+\sin \frac{	heta}{2}ight)^2}} \ & =\frac{1+\cos \frac{	heta}{2}-\sin \frac{	heta}{2}}{1+\cos \frac{	heta}{2}+\sin \frac{	heta}{2}} \ & =\frac{2 \cos ^2 \frac{	heta}{4}-2 \sin \frac{	heta}{4} \cos \frac{	heta}{4}}{2 \cos ^2 \frac{	heta}{4}+2 \sin \frac{	heta}{4} \cos \frac{	heta}{4}} \ & =\frac{2 \cos ^2 \frac{	heta}{4}\left(1-	an \frac{	heta}{4}ight)}{2 \cos ^2 \frac{	heta}{4}\left(1+	an \frac{	heta}{4}ight)}\end{aligned}$ $	herefore \quad 	an x=	an \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{4}ight) \quad \ldots\left[\because 	an \frac{\pi}{4}=1ight]$ $\begin{aligned} & \Rightarrow x=\frac{\pi-	heta}{4} \ & \Rightarrow \sin 4 x=\sin (\pi-	heta)=\sin 	heta=x\end{aligned}$

If $(1+\sqrt{1+x}) \tan x=1+\sqrt{1-x}$, then $\sin 4 x$ is

Solution