If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are three vectors such that $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$ and…

If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are three vectors such that $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$ and $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2+(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})^2+(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})^2=36$ then, $|2 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}|^2=$
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Solution

Given that $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$ and $\begin{aligned} & (\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})^2+(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})^2+(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})^2=36 \\ & \Rightarrow|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}-2 \vec{a} \cdot \vec{c}+|\vec{b}|^2 \\ & +|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2+2 \vec{b} \cdot \vec{c}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{c} \cdot \vec{a}+|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2 \\ & +|\vec{b}|^2+2 \vec{c} \cdot \vec{a}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}=36 \\ & \Rightarrow 3|\vec{a}|^2+3|\vec{b}|^2+3|\vec{c}|^2-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=36 \\ & \Rightarrow 3[3+3+3]-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=36 \\ & \Rightarrow 27-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=36\end{aligned}$ $\Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=-9$ $\qquad ...\mathrm{(i)}$ Now, $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ $=3+3+9-9=0$ $\therefore \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0 \Rightarrow \vec{a}+\vec{c}=-\vec{b}$ $\qquad ...\mathrm{(ii)}$ Now, $|2 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}|^2=|2(\vec{a}+\vec{c})-3 \vec{b}|^2$ $=|-5 \vec{b}|^2=25|\vec{b}|^2=25 \times 3=75$

Asked in: AP EAMCET 2024 (20 May Shift 2)

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