If a → = i ^ + 2 k ^ ,   b → = i ^ + j ^ + k ^ ,   c → = 7 i ^ - 3 j ^ + 4 k ^ ,…

Given,

$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c}\right)\times \overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c}\right)\left|\right|\overrightarrow{b}$

Therefore, $\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{r}=\overrightarrow{c}+\lambda \overrightarrow{b}$

Also,

 $\overrightarrow{r}·\overrightarrow{a}=0$               (given)

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{c}+\lambda \overrightarrow{b}\right)·\overrightarrow{a}=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}=0$

$\Rightarrow \lambda =\frac{-\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}}$

Now,

$\overrightarrow{r}·\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{c}+\lambda \overrightarrow{b}\right)·\overrightarrow{c}$

$=\left(\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}}\overrightarrow{b}\right)·\overrightarrow{c}$

$={\left|\overrightarrow{c}\right|}^2-\left(\frac{\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}}\right)\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)$

$=74-\left(\frac{15}{3}\right)\times 8$

$=74-40=34$