If a → = i ^ + 2 j ^ + k ^ , b → = 3 i ^ - j ^ + k ^ and c → be the vector such that a → × c → = b → and a →…

Given: $\overrightarrow{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$, $\overrightarrow{b}=3\left(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\right)$, $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=3$ and $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$.

Now, $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)·\overrightarrow{b}={\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)·\overrightarrow{b}={\left(3\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right)}^2$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)·\overrightarrow{b}=27$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)=27 ...\left(i\right)$

$\left\{\text{as} \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)\right\}$

Also, $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=3-6+3=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}·\left(\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}·\left(\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=27-0-3$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}·\left(\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=24$