If α , β are the roots of the equation, x 2 - x - 1 = 0 and S n = 2023 α n + 2024 β n , then

Given: $\alpha , \beta$ are roots of ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-1=0$.

$\Rightarrow {\alpha }^2-\alpha -1=0$

$\Rightarrow {\alpha }^2=\alpha +1 ...\left(i\right)$

Also, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=2023{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}}+2024{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}}$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-2}=2023{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-1}+2024{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}-1}+2023{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-2}+2024{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}-2}$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-2}=2023{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-2}\left(1+\mathrm{\alpha }\right)+2024{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}-2}\left(1+\mathrm{\beta }\right)$

Using equation $\left(i\right)$,

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-2}=2023{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-2}\left({\mathrm{\alpha }}^2\right)+2024{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}-2}\left({\mathrm{\beta }}^2\right)$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-2}=2023{\alpha }^{\mathrm{n}}+2024{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}}$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-2}={\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$

Putting, $\mathrm{n}=12$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{12}={\mathrm{S}}_{11}+{\mathrm{S}}_{10}$