If a → ,   b → ,   c → are unit vectors and the maximum value of | a → - b…

Given, $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \& \overrightarrow{c}$ are unit vectors. Therefore

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$

Now, we have

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{|}^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}{|}^2$

$={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\right)+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2-2\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)$

$=6-2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right) ...\left(\mathrm{i}\right)$

Now, ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)\ge 0$

$\Rightarrow 3+2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)\ge 0$

$\Rightarrow 2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)\ge -3 ...\left(\mathrm{ii}\right)$

From $\left(\mathrm{i}\right) \& \left(\mathrm{ii}\right)$, maximum value 

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{|}^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}{|}^2$ is $9$.

Therefore, $k=9$

Now, $k\left(2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+3{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\right)=9\left(2+3-4\right)=9$