If 2 tan 2 θ - 5 sec θ = 1 has exactly 7 solutions in the interval 0 , n π 2 , for the least value of n ∈ N…

Given,

$2{\tan }^2\mathrm{\theta }-5\mathrm{sec\theta }-1=0$

$\Rightarrow 2\left({\sec }^2\mathrm{\theta }-1\right)-5\mathrm{sec\theta }-1=0$

$\Rightarrow 2{\sec }^2\mathrm{\theta }-5\mathrm{sec\theta }-3=0$

$\Rightarrow 2{\sec }^2\mathrm{\theta }-6\mathrm{sec\theta }+\mathrm{sec\theta }-3=0$

$\Rightarrow 2\mathrm{sec\theta }\left(\sec \theta -3\right)+1\left(\mathrm{sec\theta }-3\right)=0$

$\Rightarrow (2\mathrm{sec\theta }+1)(\mathrm{sec\theta }-3)=0$

$\Rightarrow \mathrm{sec\theta }=-\frac{1}{2},3$

$\Rightarrow \mathrm{cos\theta }=-2, \frac{1}{3}$

We know that, $-1\le \mathrm{cos\theta }\le 1$

$\Rightarrow \mathrm{cos\theta }=\frac{1}{3}$

For $7$ solutions $\mathrm{n}=13$

So, $\sum _{\mathrm{k}=1}^{13}\frac{\mathrm{k}}{2^{\mathrm{k}}}=\mathrm{S}$ (say)

$\Rightarrow \mathrm{S}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots .+\frac{13}{2^{13}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \mathrm{S}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots ..+\frac{12}{2^{13}}+\frac{13}{2^{14}}$

$\Rightarrow \mathrm{S}-\frac{\mathrm{S}}{2}=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots .+\frac{13}{2^{13}}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots ..+\frac{12}{2^{13}}+\frac{13}{2^{14}}\right)$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{S}}{2}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{13}{2^{13}}\right)-\frac{13}{2^{14}}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{S}}{2}=\frac{1}{2}·\frac{1-\frac{1}{2^{13}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{13}{2^{14}}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{S}}{2}=\frac{1}{2}·\frac{\frac{2^{13}-1}{2^{13}}}{\frac{1}{2}}-\frac{13}{2^{14}}$

$\Rightarrow \mathrm{S}=2·\left(\frac{2^{13}-1}{2^{13}}\right)-\frac{13}{2^{13}}$

$\Rightarrow \mathrm{S}=\left(\frac{2^{14}-2-13}{2^{13}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{S}=\left(\frac{2^{14}-15}{2^{13}}\right)$