If $1^2 \cdot\left({ }^{15} C_1\right)+2^2 \cdot\left({ }^{15} C_2\right)+3^2 \cdot\left({ }^{15} C_3\right)+\ldots$ $+15^2 \cdot\left({ }^{15} C_{15}\right)=2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$, where $m, n, k \in \mathbf{N}$, then $\mathrm{m}+\mathrm{n}+\mathrm{k}$ is equal to :

Question

Aicharya · Accepted Answer

$\begin{aligned} & \sum_{\mathrm{r}=1}^{15} \mathrm{r}^2\left({ }^{15} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}ight) \Rightarrow 15 \sum_{\mathrm{r}=1}^{15} \mathrm{r}^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1} \ & 15 \sum_{\mathrm{r}=1}^{15}(\mathrm{r}-1+1){ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1} \ & 15 \cdot 14 \sum_{\mathrm{r}=1}^{15}{ }^{13} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-2}+15 \sum_{\mathrm{r}=1}^{15}{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1} \ & 15 \cdot 14 \cdot 2^{13}+15 \cdot 2^{14} \ & 3^1 \cdot 2^{13}(70+10) \ & 3^1 \cdot 2^{13} \cdot 80 \ & 3^1 \cdot 5^1 \cdot 2^{17} \ & \mathrm{~m}=17 \mathrm{n}=1 \quad \mathrm{k}=1 \ & 	ext { option }(1)\end{aligned}$

If \(1^2 \cdot\left({ }^{15} C_1\right)+2^2 \cdot\left({ }^{15} C_2\right)+3^2 \cdot\left({ }^{15}…

Solution