If 0 < x < 1 , then 3 2 x 2 + 5 3 x 3 + 7 4 x 4 + … , is equal to

$\frac{3}{2}{x}^2+\frac{5}{3}{x}^3+\frac{7}{4}{x}^4+---$

$\Rightarrow \left(1+\frac{1}{2}\right)x^2+\left(1+\frac{2}{3}\right)x^3+\left(1+\frac{3}{4}\right)x^4+----$

$\Rightarrow \left(x^2+x^3+x^4---\right)+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^4---$

$\Rightarrow \left(x^2+x^3+x^4---\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)x^2+\left(1-\frac{1}{3}\right)x^3--$

$\Rightarrow 2\left(x^2+x^3+---\right)+\left(\frac{-1}{2}{x}^2-\frac{x^3}{3}--\right)$

$S\Rightarrow \frac{2x^2}{1-x}+\ln \left(1-x\right)+x$

$=\frac{2x^2+x-x^2}{1-x}+\ln \left(1-x\right)$

$=\frac{x^2+x}{1-x}+\ln \left(1-x\right)$

$=x\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+\ln \left(1-x\right)$