For any θ ∈ π 4 , π 2 , the expression 3 sin θ - cos θ 4 + 6 sin θ + cos…

$3{\left(\sin \theta -\cos \theta \right)}^4+6{\left(\cos \theta +\sin \theta \right)}^2+4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^6\theta$

$=3{\left({\left(\sin \theta -\cos \theta \right)}^2\right)}^2+6{\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \right)}^2+4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^6\theta$

$=3{\left({\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta +{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta -2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}^2+6\left({\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta +{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta +2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)+4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^6\theta$

$=3{\left(1-2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}^2+6\left(1+2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)+4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^6\theta$

$=3\left(1-4\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta \right)+6\left(1+2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)+4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^6\theta$

$=9+12{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta +4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^6\theta$

$=9+12\left(1-{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta \right){\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta +4{\left(1-{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta \right)}^3$

$=9+12{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta -12{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^4\theta +4\left(1-3{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta +3{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^4\theta -{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^6\theta \right)$

$=13-4{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^6\theta$