For any 3 × 3 matrix M , let | M | denote the determinant of M . Let I be the 3 × 3 identity…

(A) $G=(I-EF{)}^{-1}$

$\Rightarrow FGE=F(I-EF{)}^{-1}E$

$={\left(E^{-1}(I-EF)F^{-1}\right)}^{-1}$

$\Rightarrow FGE={\left(E^{-1}{ F}^{-1}-I\right)}^{-1}$

$\Rightarrow \left|FGE\right|·\left|E^{-1}{ F}^{-1}-I\right|=1$

$\Rightarrow \left|FGE\right|·\left|E^{-1}{ F}^{-1}-I\right|\left|FE\right|=\left|FE\right|$

$\Rightarrow \left|FGE\right||I-FE|=\left|FE\right|$

(B) & (D) $(I-FE)·(I+FGE)$

$=I+FGE-FE-FE·FGE=0$

$=I+FGE-FE-F(G-I)E$

$=I+FGE-FE-FGE+FE=I$

(C) $(I-EF)G=I=G(I-EFG)$

$\Rightarrow G-EFG=I=G-GEF$

$\Rightarrow EFG=GEF$