For $n \in Z^{+}$, $(1+\sin heta+i \cos heta)^n+(1+\sin heta-i \cos heta)^n=$

Question

For $n \in Z^{+}$, $(1+\sin 	heta+i \cos 	heta)^n+(1+\sin 	heta-i \cos 	heta)^n=$

Aicharya · Accepted Answer

$\begin{aligned} & 	ext { }(1+\sin 	heta+i \cos 	heta)^n+(1+\sin 	heta-i \cos 	heta)^n \ & =\left[1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-	hetaight)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-	hetaight)ight] \ & +\quad\left[\left[1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-	hetaight)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}-	hetaight)ight]^night. \ & =\left[2 \cos ^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)+2 i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight) \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)ight]^n\end{aligned}$ $\begin{aligned} & +\left[2 \cos ^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)-2 i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight) \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)ight]^n \ = & \left.2^n \cos ^n\left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)ight)\left[\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)ight]^night. \ & \left.+\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)-i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)ight]ight\} \ = & 2^n \cos ^n\left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight)\left[\cos \left(\frac{n \pi}{4}-\frac{n 	heta}{2}ight)+i \sin \left(\frac{n \pi}{4}-\frac{n 	heta}{2}ight)ight. \ & \left.+\cos \left(\frac{n \pi}{4}-\frac{n 	heta}{2}ight)-i \sin \left(\frac{n \pi}{4}-\frac{n 	heta}{2}ight)ight] \ = & 2^{n+1} \cos ^n\left(\frac{\pi}{4}-\frac{	heta}{2}ight) \cos \left(\frac{n \pi}{4}-\frac{n 	heta}{2}ight) .\end{aligned}$

For $n \in Z^{+}$, $(1+\sin \theta+i \cos \theta)^n+(1+\sin \theta-i \cos \theta)^n=$

Solution